這，才是數(shù)學！數(shù)學怎么學？有什么用？什么是數(shù)學思維？（什么是數(shù)學的思維方式）
“哎……”
旁白：“是誰，一聲嘆息，如此沉重？”
作者：“像是來自虛空？”
旁白：“什么是虛空？”
數(shù)學：“我來自虛空，來自看似無實則有的虛空。”
旁白：“你說得太復雜了，我聽不懂。你為何嘆息？”
數(shù)學：“新學期開始沒幾天，我又遭受了無數(shù)次無辜的謾罵?！?/span>
旁白：“哈哈，也不能怪他們咒罵你，我也想罵你，你太難理解了，而且沒有用，還要記一堆東西?！?/span>
作者：“這不是數(shù)學的錯，這是數(shù)學教育的錯，數(shù)學不是記憶，數(shù)學是探索?！?/span>
“嗚嗚……”聽到作者如此說，數(shù)學嚎啕大哭。
旁白：“你哭什么？”
數(shù)學：“終，得遇知音。太感動了。我可以回到虛空了，再見了……”
旁白：“等等，我還想聽聽你的想法呢？我說數(shù)學沒有用?！?/span>
作者：“數(shù)學離開了，她已經(jīng)遁入虛空，就由我來回答你的問題。沒有數(shù)學，飛機就上不了天，沒有數(shù)學，你也不能通過手機等媒介看到我的文章，沒有數(shù)學……”
旁白：“等等，這個我知道，科學的發(fā)展離不開數(shù)學。我是說數(shù)學對我們普通人來講沒有用?！?/span>
作者：“那是因為你沒有接觸數(shù)學的本質(zhì)，數(shù)學的本質(zhì)是探索，是思維的游戲。后面我會為你詳細解釋?！?/span>
旁白：“我姑且相信你說的，假設數(shù)學真的有用，我們普通人學點加減乘除就可以了啊，沒有必要學習三角函數(shù)，微積分這些啊，工作之后完全沒有用到?！?/span>
作者：“那是知識沒有用，不是數(shù)學沒有用。知識只有在特定領域才能發(fā)揮作用?！?/span>
旁白：“這句話作何理解？”
作者：“你且聽我慢慢為你分析?！?/span>
旁白：“好的，那數(shù)學到底應該怎么學？學什么？”
作者：“待我徐徐說來?！?/span>
……
這篇文章會比較長，耗費的時間比較多，且慢慢的讀。
首先，先說一下怎么學？
（一）吃透基本概念
為什么憎恨數(shù)學？最主要的一個原因是不理解數(shù)學概念，需要去記憶數(shù)學概念。
讓我們再度穿越歷史的長河回到過去，回到那個數(shù)字沒有被發(fā)明創(chuàng)造的時代。碰巧在那個狩獵時代，你負責看守打回來的獵物，起初有一個獵物進來你就擺一顆石頭，后來，由于需要向酋長匯報，沒法把石頭一股腦兒搬過去。
后來你進一步想（你是個跨越千年的不死老妖，哈哈），想到了用繩子打結(jié)，多了一只獵物就在繩上打個結(jié)，這個方法果然方便了很多。但是隨著族群的壯大，新的問題隨之而來，獵物越來越多，繩子越來越長，你帶著繩子向酋長匯報顯得不可能了，而且每次都要數(shù)繩結(jié)不勝其煩。
你又發(fā)揮你聰明的大腦繼續(xù)想，你想到發(fā)明符號來代表數(shù)量，有一只獵物劃一豎，就像“////”這樣，隨著時間的推移，你發(fā)現(xiàn)這樣雖然和結(jié)繩比起來方便了很多，但是依然有一個問題，數(shù)量很大很大的時候，需要刻畫很多很多個“/”。另外一個問題，很不不直觀，數(shù)“////////////////////////”數(shù)和“////////////////////////”哪個數(shù)大?大多少?很難計算出來。
你沒有停下思考的腳步，繼續(xù)向前邁進，分別用符號“123456789”表示“/”~“/////////”，到了這里就已經(jīng)和現(xiàn)代計數(shù)系統(tǒng)很像了，這里再次遇到了一個難題，大于9的數(shù)怎么表示?是繼續(xù)創(chuàng)造新的字符往下么，比如“a”，“b”……如果這樣的話又變成了窮舉法，數(shù)字可以大多無窮，窮盡所有的字符都無法完整表示，而且又將陷入上面的問題，無法計算，比如比較大小。所以，你放棄了這條路，你打算用現(xiàn)有的這些符號來組合，于是乎，數(shù)位的概念就可以應運而生了，數(shù)字在不同的位置上代表著不同的含義，比如11可以表示“///////////”這個數(shù)，以此類推，而且有了這個位置的概念，再大的數(shù)也可以表示，無非是百位，千位等位置上放上數(shù)字，再小的數(shù)也可以表示，無非是在十分位，百分位等位置上放上數(shù)字。
這一套數(shù)字系統(tǒng)非常方便計數(shù)，非常方便比大小，非常方便擴展，而且這套計數(shù)系統(tǒng)可以成為人類乃至從古至今通用的語言，所以，不是數(shù)學家創(chuàng)造了數(shù)學，而是歷史的選擇。
能深刻的理解這套數(shù)字系統(tǒng)，由“0~9”這個十個符號來表示數(shù)，那么，出現(xiàn)這樣的題——由“0~5”這六個字符來表示數(shù)，也就可以順利解答了。比如：
圖中有幾個蘋果，用“0~9”這個十個字符來表示，很簡單，為7個。用“0~5”這六個字符表示呢？由于，六個字符，如果不考慮組合的方式，最多只能表示“六“個蘋果，由于，0表示沒有，圖中蘋果的數(shù)量為11個。
我們再從“有用”的角度看，為什么需要吃透概念，數(shù)字系統(tǒng)的誕生看似偶然，實則是必然的結(jié)果。從吃透基本概念中，你可以學會從無數(shù)個偶然事件中看必然結(jié)果，而這個思維在研究歷史時必然需要用到，天下分久必合，合久必分，這是現(xiàn)象，其背后的必然性是什么？
（二）從上層建筑入手
從上層建筑開始，以思維為紐帶把知識點串聯(lián)起來，這如何理解？數(shù)學中有一個最重要的思想，數(shù)形結(jié)合，我們順著數(shù)形結(jié)合的思想做一下解釋。
當我們看到(a b)^2=a^2 b^2 2*a*b這個等式，甚是疑惑。
“這個等式的成立，我也表示很疑惑。”數(shù)學說。
作者：“你怎么又出來了？”
數(shù)學：“在虛空中比較煩悶，出來晃悠晃悠?！?/span>
作者：“……”
不管三七二十一，我們通過數(shù)形結(jié)合看一下，把這個等式用圖的方式表達，畫出來一看，一目了然。
有了數(shù)形結(jié)合的思想，我們再來看乘法分配律，aX(b c)=aXb aXc，是不是很容易理解了？
兩個看似毫無關聯(lián)的知識點，可以通過數(shù)形結(jié)合思想為紐帶產(chǎn)生聯(lián)結(jié)。我們來看一個更有意思的案例。
其中，i=√-1,也就是虛數(shù)單位。這個數(shù)列乍看起來比較簡單，用語言描述起來，如果n為偶數(shù)，則bn為 1或者-1；如果n為奇數(shù)，則bn為 i或者-i?？雌饋硎且粋€周期數(shù)列，周期為4。這可以是一個解，那我們順著數(shù)形結(jié)合的思想看一下，會產(chǎn)生什么神奇的結(jié)果?？紤]一下從復平面的角度入手。什么是復平面呢，以x軸為實數(shù)軸，以y軸為虛數(shù)軸而組成的坐標平面，這樣的話，所有的復數(shù)就可以表示為平面上的一個點了，即x yi等價于（x,y）坐標。對應到我們題中的數(shù)列，我們稍加整理一下我們的數(shù)列，則為1 0i,0 1i,-1 0i,0-1i,1 0i,0 1i,-1 0i,0-1i,…這個數(shù)列可以用如下的坐標表示（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1），（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）,…
這些點，能讓你想到什么？是不是可以想象它是正方形的頂點?是不是也可以想象它是單位圓上的點?我們不妨把它畫出來。
一般，單位圓，又可以用公式如下歐拉公式來表示。
如此看來，則四個點就可以如此表示了。
所以，最終的通項式可以表示為這個形式。
沒有數(shù)形結(jié)合在這些知識點之間做聯(lián)結(jié)，恐怕很難會想到一個數(shù)列的問題，可以和歐拉公式產(chǎn)生聯(lián)系，可以和單位圓產(chǎn)生聯(lián)系。所以，這就是我們上面提到的從上層建筑入手的意義。
（三）養(yǎng)成“提問”習慣 發(fā)現(xiàn)“科學之美”
怎么問？問什么？問一些違背直覺的問題，問一些司空見慣的問題。
為什么一個數(shù)的零次冪必須等于1，為什么不等于0？順著這個直覺，任意一個數(shù)的零次冪，m的零次冪，即零個m相乘，直觀地看上去應該是0，就像任意數(shù)乘以零，理解為零個數(shù)相加等于零一樣，而不應該是1。多問為什么，就有了探索的動力。像量子力學，光速不變原理，有諸多看起來違背直覺的問題，自然也就有了強烈的求知的欲望。
（四）歸納作結(jié)
怎么做？圍繞著不同的維度去總結(jié)學過的東西，可以圍繞著數(shù)學思想，可以圍繞著知識點，可以圍繞著方法等等，知識體系在歸納總結(jié)中不斷地交織融合，不斷地產(chǎn)生聯(lián)想與發(fā)散。
比如圍繞著數(shù)學思想進行總結(jié)：
比如，圍繞著知識點進行總結(jié)：同底等高的平行四邊形面積關系（其中，長方形是特殊的平行四邊形）如下圖所示。
順著這個知識點總結(jié)：如下這些題都可以放在一起學習。
第一部分，我們主要回答了，數(shù)學怎么學，大體就從這幾個方面說明一下，不限于這幾個方面。第二部分，我們將主要從數(shù)學思維的角度來說明數(shù)學有什么用。
數(shù)學有什么用，本身不應該成為一個問題，這是一個荒謬的問題，撇開數(shù)學在科學發(fā)展中的應用不談，數(shù)學和音樂、繪畫、讀書一樣，首先是愉悅自我，探索數(shù)學問題本身就是一件充滿樂趣的事，當然這是對數(shù)學愛好者而言，我們今天主要是面向被錯誤數(shù)學觀念給折磨得痛苦不堪的人來談談數(shù)學的有用。
旁白：“我現(xiàn)在已經(jīng)不用學數(shù)學了，我就是那個被數(shù)學折磨得痛苦不堪的人，你說不是數(shù)學沒有用，是知識沒有用，我已經(jīng)迫不及待的想看你如何為數(shù)學辯解?！?/span>
作者：“好的，我將主要從數(shù)學思維的角度來辯解?！?/span>
數(shù)學有什么用？
（一）抽象思維
依照慣例，我們先介紹數(shù)學思維，以及在數(shù)學中應用，然后再看其推廣到其他領域中的應用。
從前，普魯士王國的首府柯尼斯堡，有一條名為普列戈利亞河的大河流經(jīng)，位于河中央的小島上。
當時，這條普列戈利亞河上總共建了七座橋，而不知從什么時候，人們開始熱烈地討論起一個話題：“假設可以從任何一座橋出發(fā)，請問在七座橋都走且只走一遍的前提下，怎么回到出發(fā)點？”
在解決這道題時，歐拉把市區(qū)、橋和河川的關系，簡化為下面的圖像。
通過建立了這個“圖模型”，得出“無法在七座橋都各走一遍的前提下回到出發(fā)點”的結(jié)論。那么，歐拉是怎么證明的呢？歐拉進一步做了一個模型，分兩種情況看，奇點情況和偶點情況。
有了模型化思想，我們能做啥？
初中物理中要學習電路分析，電路分析也是一個非常典型的模型化思想，把復雜的實物電路模型化——用圖的方式表示處理。
把實際的電路圖，用抽象的圖來表示，去掉無關緊要的因素，再借助類比思想，把電流類比為水流，用更直觀的方式來分析電路圖，初中是這么分析，上了大學電路也是用這種方式分析。
旁白：“等等，你這個說的是有道理，的確這個數(shù)學思維很有用，但是這個還是在學習理科中的應用，對于普通人有什么用呢？”
作者：“那么我們看看，在工作中的應用，如何？”
在寫程序中就會經(jīng)常使用管道模型這個模型化思維。
我之前做過的一個數(shù)據(jù)采集工具，就是借助了管道模型的思想，這樣做可以實現(xiàn)過程解耦，邏輯看起來也會很清晰。
（二）對比思維
我們從最簡單的一個問題看，乘法交換律。
在小學時，我們就學過，設a,b為整數(shù)，則有a×b=b×a。到了中學，會進一步擴展，會學到無理數(shù)，對比著看，整數(shù)和無理數(shù)性質(zhì)沒有太大的差異，都可以在軸上任意表示出來，既然整數(shù)滿足乘法交換律，無理數(shù)理應滿足。無理數(shù)乘法交換律可以用不嚴謹?shù)姆椒ê唵巫C明一下，即通過長方形面積公式，對于一個長方形而言，長為a,寬為b，其中，a,b都是無理數(shù)，其面積為a×b，另一個長方形長為b,寬為a,其面積為b×a，這兩個長方形面積相等，由此，可知無理數(shù)滿足乘法交換律。
到了大學學我們會學習到虛數(shù)，自然而然地我們應該把虛數(shù)和實數(shù)對比著學習，虛數(shù)和實數(shù)相比也有相似之處，從復平面的角度看，實數(shù)是實數(shù)軸上點，一般用x軸表示，虛數(shù)是虛數(shù)軸上的點，一般用y軸表示。既然，兩者如此相似，自然而然地我們應該想到虛數(shù)也應該滿足乘法交換律。
線性代數(shù)中也有乘法，矩陣的乘法，看到乘法，我們自然而然的會想，矩陣中的乘法滿足交換律么？答案是不滿足，這個證明過程我就不再贅述。再比如群論中，辮群也是不滿足乘法交換律的。
從整數(shù)的研究到負數(shù)，繼而到無理數(shù)，再到虛數(shù)的研究就是在對比思想引導下推進前行，學習也應該在對比思維引導下把這些知識串聯(lián)起來。
有了對比思維，我們能做什么？
在中學階段學習化學將大有裨益。我們透過一個小案例分析一下，先來看一下化學元素表。
先問大家一個問題:“化學元素表為什么要這樣排列?”各位看官可以先思考一下。
好了，我們直接來看，最直觀的原因是同一列元素其外層電子數(shù)一樣的，外層電子數(shù)一樣意味著什么呢？哈哈，不用我說，各位看官應該也能猜到外層電子數(shù)相同，其化學性質(zhì)會有相似性。因此，化學最適合通過對比思想來學習的一門科目了。
比如，納和鋰，最高正價都是 1價，表現(xiàn)出相似的氧化還原性質(zhì)，都容易和氧氣發(fā)生反應；它們的化合物都是強電解質(zhì)，溶于水時釋放出離子，具有相似的水解性質(zhì)；他們的化合物都有碳酸鹽，能與酸反應生成二氧化碳；它們的化合物都屬于強堿弱酸鹽等等。現(xiàn)在的新能源汽車已成燎原之勢，現(xiàn)在最熱門的電池是鋰離子電池，目前也有在研究鈉離子電池，為什么研究鈉離子電池呢？看一眼元素周期表或許就能明白了鈉和鋰在同一列，其化學性質(zhì)有諸多相似性，那么，研究鈉離子電池也就是順理成章的事情了。我們?nèi)祟愂?span id="qsh1b7padf" class="candidate-entity-word" data-gid="3464596">碳基生命，而計算機是硅基，對比著看，或許不久的將來硅基將會誕生意識，今年ChatGPT一度被按下暫停鍵，就是人類擔心硅基生命有了意識，那將是一件非?？膳碌氖?，人類或許會有滅頂之災。
我們主要從數(shù)學思維層面來說明數(shù)學有用，當然，數(shù)學思維遠不止我文中提到的數(shù)形結(jié)合、歸納推理、抽象化、對比等思維模型，還有諸如化整為零，微積分等思維模型，這里我們就不一一而足了，畢竟這篇文章已經(jīng)寫的很長了。
旁白：“等等，我正在興頭上，不能就此結(jié)束?！?/span>
數(shù)學：“對啊，我也是，你再講講嘛，我還是第一次聽到有人為我做如此多的辯解。意猶未盡啊?！?/span>
作者：“不行了，我實在是講不動了，來日方長。”
